弗朗西斯·苏（ Sue）是美国数学协会（MAA）第一位非白人主席，也是《数学的力量》一书的作者。他不仅是一位数学家，而且还是一位数学教育家。 2013年，弗朗西斯获得美国数学协会颁发的“2013年海默数学杰出教学奖”。
数学是一门重要的基础学科，是一种广泛使用的工具和能力，但在大众语境下它却成为衡量智商的硬性指标。数学家经常被描绘成孤独的天才。 2017年，弗朗西斯·苏在卸任美国数学协会主席时发表演讲，后来被编入《数学的力量》一书。他用真诚的语言强调数学中的人文情怀，提醒人们数学中蕴含的美好品格。很多人学习数学的经历就是自卑、被排斥。事实上，真正的数学研究非常重视协作和交流。数学成就不是一维的。数学的乐趣在于过程而不是成就。他并不回避谈论数学领域的歧视和不公正，但这些需要改变，与数学本身无关。
本文摘自《数学的力量》第12章。字幕是编辑添加的，注释可以在原书中找到。
《数学的力量：让我们成为更好的人》篮球技术是篮球比赛，[美]弗朗西斯·苏着，沉吉尔、韩笑笑译，中信出版集团，2022年6月。
数学中真正能给人带来满足的只有两件事，一是向别人学习，二是与别人分享。大家能够完全理解的东西，其实是极其有限的。大多数事情我们只知道了表面，并没有深入研究过。
——威廉·瑟斯顿 ( )
学习数学不是你一个人必须做的事情
里卡多·古铁雷斯 ( ) 是一名纽约人，出生于工人阶级社区，父母是移民。他的父亲从未完成高中学业，他的母亲在八年级就辍学了。 2017年，他在一份报告中读到了我关于“如何在数学中茁壮成长”的演讲实录，然后给我写了一封信。
信中提到，他很小的时候就表现出了数学天赋，但没有人能够给予他正确的指导。于是他在大学期间改变了兴趣，在过去的19年里将所有的时间和精力投入到音频工程中，成为一名相当成功的音频工程师——虽然这不是一份真正的技术工作，但正如他所说：“音乐是我的一切”工作，我会想办法让它们更漂亮、更悦耳。”他深爱自己的事业——事实上，他参与的一个项目曾获得格莱美奖提名——但他仍然觉得自己的生活中缺少了一些东西。
我只是觉得我还渴望别的东西。没有这些东西，我的人生就不完整。我想学习更多的知识，体验数学、计算机等学科的思维逻辑。也许是因为逻辑思维的深入感受吸引了我，让我感受到了思考的乐趣；也许是因为我的工作已经不能满足我对知识的渴求，而数学和编程正好可以满足我的渴求。胃口……也许，更准确的来说，我对现在的工作太熟练了，熟练到感觉每一天都只是一个“日常时钟”，没有什么新鲜感。
随后，他在40岁那年勇敢地迈出了重返校园的一步，参加了一项针对“非传统学生”的教学计划。他说：
这种严谨的学术环境给我带来了难以想象的压力和艰辛，甚至让我觉得有点难以接受——尤其是对于一个没有长期接触过高强度学习生活的人来说——但有时候，我想是什么让我无法接受呢？我难过的不是这些压力，而是从小在数学和计算机课上感受到的“我根本不属于这里”的感觉。我之所以有这样的感觉，可能和我小时候的不好的经历有很大关系。当时的邻里环境和生活条件是如此的恶劣，我的每一个梦想都会立刻被无情的现实击碎。没有人站出来指导我，帮助我纠正根深蒂固的错误观念。 “我根本不属于这里”这句话不断在我脑海中回响，逐渐扭曲了我人生的方向，成为我生命中挥之不去的阴影。
“我不属于这里”的感觉可能会对人们造成极大的伤害，因此社区对个人来说很重要，因为它给我们一种归属感。帕克·帕尔默说：“所谓教学，是指为大家创造一个集体学习的环境，让大家在实践中感受到集体的力量。”如果是这样的话，当别人因为自身的局限性而无法看清真相、做某事时，我们就有义务主动揭穿他们的谎言。我们可以帮助他们找到归属感。
没有人能够健康发展，离不开集体（集体指的是那些能理解我们的痛苦、感受到我们的喜悦、看到我们内心的希望、理解我们内心的恐惧的人）。集体可以帮助我们认识到奋斗是一种正常现象，认识到“我不是一个人在奋斗”。
集体主义是每个人内心深处的渴望。无论是在休闲娱乐、教育学习，还是在事业家庭生活中，集体都扮演着“引路人”的角色，帮助我们走进数学的大门，引导我们在数学的道路上不断前进。
纪录片《数学的故事》截图。
“数学共同体”的概念在本书中多次被提及。现在大家应该明白了，任何因为共同的数学经验和知识而聚集在一起的人群都可以算作一个数学共同体。当你和家人分享数学笑话，表达你对数学的热爱，和家人一起制作一些几何物体，和家人一起阅读数学相关的文章，甚至和家人一起做饭（根据食谱）时，当你按照食谱添加食材时按照说明并与家人讨论调味料的用量），您实际上已经在家里建立了一个数学社区。当你走进数学教室或者参加策略游戏时，你实际上已经进入了一个数学社区。
对于大多数人来说，“集体”这个词与数学关系不大。相反，大家认为数学家的典型形象应该是“几十年来致力于研究某一问题的人”。是的，近年来已经解决了几个著名的数学问题，这些例子也确实符合大家的观念。
例如，1993年，安德鲁·威尔斯（Wiles）给出了费马大定理的相关证明（当时的证明存在一些缺陷），结束了这个350多年未解决的问题。事实上，这个定理描述起来非常简单：当n > 2时，方程xn + yn = zn没有整数解。但对于这么简单的一句话，安德鲁·怀尔斯独自花费了7年的时间和大量的努力来寻找证明的方法。
又如，2003年，格里戈里·佩雷尔曼（ ）给出了庞加莱猜想的证明，为拓扑学领域的这个百年难题画上了圆满的句号。一般来说，我们可以这样理解庞加莱猜想：每一个没有孔的封闭三维物体在拓扑上等价于一个三维球体。在证明之前，没有人知道佩雷尔曼正在研究著名的庞加莱猜想。
再比如，2013年，当张一堂成功证明素数之间的有界区间（孪生素数猜想的重大突破）时，业内没有人听说过张一堂的名字。上述例子造成了一种迷信观念，认为数学家应该独自默默地工作。但这些例子之所以成为新闻，正是因为它们的独特性。他们实际上并不具有代表性。
事实上，数学充满了合作，人们会自发地聚集在一起进行各种数学项目——一起学习、一起阅读、一起玩耍、一起研究。正如威廉瑟斯顿所说，学习和分享才是数学的真正意义（这句话是为了回应那些经常担心自己无法做出任何原创事情的人）。这就是为什么我们花时间与他人一起享受数学。
从专业角度来看，数学比过去变得更加协作。 2002 年的一项研究表明，参与合作研究项目的数学家比例从 20 世纪 40 年代的 28% 上升到 90 年代的 81%。
2009年，数学家蒂莫西·高尔斯（ ）甚至在互联网上号召大家共同努力寻找黑尔斯-朱厄特定理（Hales-）的证明，他也因此而闻名于世。 （粗略地说，我们可以这样理解这个定理：对于更高维的井字游戏，无论有多少玩家参与游戏，最终总会有赢家。）
此外，越来越多的数学教师开始鼓励学生采取主动学习方法，利用课堂时间让学生共同参与互动、协作。随着社交媒体的兴起，数学教师也在尝试更多新的教育方式，建立更多的兴趣小组，以更好地传播思想、分享观点。团队合作是当今数学探索者相互交流的核心方式，也是商业、工业、政府等领域人才的必备技能。
集体的重要性不言而喻。它可以把更多的人聚集在一起，让大家一起探索数学，在互相支持的环境中培养各种优秀品质。一个成功的数学项目将始终关注团队，将参与者聚集在一起，以便每个人，无论是儿童、教师还是研究人员，都可以从团队中受益。
然而，一些学习障碍在群体环境中会被进一步放大，因此建立数学团队不仅意味着将数学爱好者聚集在一起，而且必须能够及时发现问题，为大家清除障碍。
数学成就不是一维的
数学界常常过于关注一个人所取得的成就——通常是一项狭隘的成就。当我们在心里评估谁“数学更好”时，我们经常根据单一“能力”进行排名，但这只会让分歧变得更深。我们经常向别人传达这样的想法：数学成功只有一种方法，比如强迫孩子快速解决问题，或者让孩子在高中学习微积分，或者告诫数学专业人士，如果他不从事科学研究，他就不能被视为“真正的数学家”。
纪录片《数学天选之人》截图。
事实上，成功的方法有很多。数学成就不是一维的。我们必须纠正我们的错误观念。我们总是认为数学是一根插在地上的杆子。我们认为葡萄藤的生长方向只有一个，只能不断地向上攀爬。但事实上，数学更像是一个凉棚：作为一根小道消息，你可以在凉棚与地面相连的任何地方找到一个起点，然后同时向多个方向攀爬。
因此，那些希望参与数学界的人必须想办法改变他们的一维观点。无论是在家里还是在课堂上，我们都应该对别人在学习数学时养成的良好品质表示赞赏，并提醒每个人这些品质是数学不可或缺的一部分。
坚持、保持好奇心、善于总结、向往美好的事物、渴望深入探索，我在各个章节中提到的这些品质，都是你数学成长和收获的体现。 。在高中和大学，我们应该提供更多的指导来帮助学生进入数学，而不是强迫每个人都学习微积分。我们应该把数学俱乐部变成一个以快乐为基础的地方，而不是让它成为一个精英们表达自己的地方。
在专业层面，为了提高大家对数学的理解，数学教师和研究者想出了各种各样的方法，我们应该注意这种多样性。另外，我们应该树立各种数学榜样，让大家明白数学可以是一个有趣、有趣的职业，而不是仅仅单打独斗。
乐趣和成就并不总是划等号
数学界有时可能是相当等级化的，即使那些不希望它们如此等级化的人也是如此。在我所在的徒步俱乐部里，每个人都因为对徒步旅行的热爱而聚集在一起。每次出发前，我们都会根据个人能力分成不同的小组。每个小组以不同的速度移动，或快或慢。我公开告诉大家我的速度很慢，我被分进了新手组，但我并不以此为耻。因为我知道徒步旅行的乐趣——风景、结交的友谊、安静的思考空间——与你徒步旅行的能力无关。钢琴音乐会和篮球比赛等活动也是如此，观看这些活动可能会很有趣，而且这种乐趣不会受到您个人在活动中的能力的影响。
数学有点不同。数学上的快乐往往需要一定的能力。例如，当我上数学课时，除非我能听懂老师在说什么，否则我永远体会不到数学的乐趣。另外，告诉别人数学知识的乐趣不仅在于你对相关定理的了解，还在于你能够给出清晰连贯的证明。可惜的是，证明过程很难让观众在短时间内消化吸收，通常很少有人会主动要求叙述者想办法调整讲述方式，让大家都能理解。虽然我现在对某些话题毫无头绪，听不懂别人在说什么，但我早已习惯了这种挫败感，也知道这是正常现象，但对于初学者来说，这种挫败感仍然很容易让人远离数学。
同样，在课堂上，在这个集体学习的环境中，教授数学技能是教学的核心内容，所以很多人在学习的时候会面临很多挑战。如果小组合作安排不合理，思考时间长的学生面对思维敏捷的学生就会产生挫败感。
虽然有时我们必须关注个人能力，但如果只关注个人能力，就会导致人们盲目崇拜那些因个人能力突出而广受赞誉的人，从而在数学界造成不必要的阶级划分。西蒙娜·薇依曾绝望地说：“我将因此被完全排除在那个只有真正伟大的人才能进入的超然王国之外。这个想法是痛苦的。”很多人都和她有同样的痛苦，我也遇到过很多类似的痛苦。
因此，对数学界抱有期望的人一定要养成热情好客的习惯，对新朋友进行良好的教导和指导，时不时地给予他们一些鼓励和支持。作为一个热情好客的数学探索者，我们也需要放下傲慢，平易近人，让新人相信，无论自己之前水平高低，大门都会为他们敞开。我们还要主动向新人展示数学中的“秘密菜单”，让他们看到不太热门的内容——当然也包括即使是有经验的老手也很难在短时间内搞清楚的知识——耐心地引导他们掌握各种数学技能，比如“如何把课本上的内容融入到自己的知识框架中”。
另外，我们要学会认可他们的优秀表现，告诉大家他们完全有能力学好数学。那些在数学界德高望重的人也应该记住，他们对于如何规范定向体系负有不可推卸的责任。另一方面，如果我们想成为一名热情好客的数学探索者，我们也必须努力成为一名优秀的数学老师，让初学者也能体验到数学的乐趣。至于如何提供良好的教育，这方面的案例太多了。我们要好好利用它们，通过愉快的交流和沟通，带领大家进入这个优秀的王国。
纪录片《数学天选之人》截图。
数学组的领导者必须发挥自己的作用，根据学生的具体表现、性格差异和能力，随时调整小组的管理策略。有经验的老师都深知这一点。他们知道，为了规范彼此的相处方式，就必须建立相应的规范；他们还知道，如果团队中有人独断专行，就会导致团队效率低下。如果不能让团队中的每个人都能在团队合作中找到自己的意义，就会给每个人带来严重的负面情绪。
因此，为了让参与者有所收获，数学教育者非常重视团队合作的设计和安排。他们会为团队工作设置多个重要角色，并为每个成员分配一些量身定制的任务，以确保每个人只有共同努力才能顺利完成工作。一个尽职尽责的老师必须懂得如何鼓励学生积极沟通、分享想法，如何适当降低团队活动给参与者带来社会风险的概率。
如果你想建立一个数学社区，你就必须想办法提高每个人的协作能力，并尽可能消除等级制度。只有让成员之间互相包容，让大家在“百家争鸣”的环境中受益，才算成功的合作。我们需要记住，合作不仅仅意味着简单的分工。真正的数学合作是高度协作的。通过大量的准备工作，保证每一位参赛者都能在相互促进的环境中成长，在良性的竞争氛围中对知识有更深的理解。
数学界的隐性歧视
和其他群体一样篮球技术是篮球比赛，数学界很容易受到各种隐性歧视：我们每个人或多或少都有一些无意识的刻板印象。我们对他人做出错误的假设，这会干扰他们表达自己的机会，并使他们的声音难以被听到。在校园里，我们要不断提醒自己：谁还没有说话？谁的努力和贡献常常被忽视？在专业领域，我们还必须意识到偏见有时会导致我们做出不利于集体的决策和行动。
例如，当女性和男性共同撰写论文时，很少有人承认女性的贡献——人们认为这项工作是由男性完成的。 2016年，有人在类似经济学的研究领域做了统计。结果显示，虽然女性发表的论文数量与男性相同，但在选择终身教授时，女性被拒绝的概率是男性的两倍。次，除非他们始终单独发表（在这种情况下，男性和女性之间的拒绝概率确实没有差异）。
因此，那些想要建立数学共同体的人必须不断地审视自己，看看自己是否无意中表现出了偏见。此外，我们必须在团体中建立适当的规章制度并遵守它们。只有这样，才能最大限度地减少偏见的发生。
有许多数学团体的成员缺乏必要的归属感。具体表现有很多，比如：我不想让别人发现我的知识水平有限（潜在的意思是：我觉得我不配和大家在一起）；别人和我不一样（潜在的意思是：没有人能真正理解我的处境）；我永远无法让自己变得足够好（这意味着：我永远无法取得与我所敬佩的人一样多的成就）。因为很多群体等级森严，这种感觉可能会越来越强烈。
作为一名40多岁的大学生，里卡多很难避免类似的经历。以上的遭遇他或多或少都遇到过。无论是从种族还是社会阶层的角度来看，里卡多都处于相对弱势的地位。而且，他已经很久没有接触校园生活了，他很难重新适应这种高强度的学习环境。过去发生的一切都在不断侵蚀着他的毅力和决心，所以他总觉得“我一开始就不应该回到校园”。校园”。
事实上，我们许多人出于某种原因都有类似的感受。例如篮球技术是篮球比赛，我在数学组里常常感到孤独。尽管我已经在数学领域站稳了脚跟，但这种感觉仍然没有消失。在职业生涯的中期，我改变了研究领域，来到了一个全新的科研机构。我花了一个学期的时间与大家建立了良好的关系，并努力融入这个集体。不幸的是，最终并没有取得什么成功。我仍然经常感到自己在群体之外。
因为我对这个新领域了解甚少，而且我以前的研究所有点不同——其他研究所专注于科学研究和学术，而我们似乎是唯一专注于教书育人的。人们不太了解我，也不邀请我参加集体活动。他们更喜欢和熟悉的人在一起。但说实话，如果他们能够理解我当时的感受，我相信他们会愿意向我伸出援助之手，帮助我走出困境。所以我之前就说过，只有时刻关心别人，才能真正接受别人。
纪录片《数学天选之人》截图。
由此可见，对于重视数学界的人来说，除了保持热情好客的态度外，还必须关心他人。这意味着我们必须正确看待他人，尤其是那些年轻人、那些初学者、那些被忽视的人。这意味着我们必须抛开他人的身份和背景，只从最纯粹的数学角度来理解他人。即使你是新来的，你也必须这样做。
之前被忽视的时候，我仔细想了想，然后我突然意识到，可能有很多人和我经历过类似的经历，因为这个科研机构一般只提供短期交流项目。可以说我们每个人都是新人。不过话说回来，即使你是一个新人，你也可以主动去关心身边那些和你对世界、对世界有同样感受的朋友，并欢迎他们。
无论你来自哪个数学组，只要你处于领导地位，就应该积极培养自己的同理心，善于发现别人的困难，理解别人的处境。作为领导者，只有以身作则，主动分享自己过去的经历和学术道路上遇到的困难，才能起到积极的作用。作为教师，只有带头积极分享自己的“数学简历”——学习数学过程中的所见、所闻、所感，学生才愿意模仿。
一个富有同理心的领导者可以为他人提供安慰并帮助他们克服挫折。作为阿贝尔奖（被誉为数学界的诺贝尔奖）获得者，凯伦·乌伦贝克（Karen）表示：“为他人树立榜样并不容易……你要明白，你才是最重要的使命”就是让学生认识到成功的人并不是完美的人，他们也有很多缺点和弱点。”
创建健康的数学共同体
我总是很高兴与其他人讨论如何在数学上取得进步，他们经常与我分享他们的深刻经验。
说到这里，我想起了数学家艾琳·麦克尼古拉斯教授（Erin）和我分享的一个有趣的故事。当时，她因为一些与学业无关的事情而承受着巨大的痛苦。后来一次偶然的机会，她和几位学生与另一位教授一起经历了一段无私而幸福的时光：
你很难想象我当时所承受的痛苦。焦虑、担忧、恐惧、愤怒等各种负面情绪交织在一起，像潮水一样席卷了我的整个大脑。我感觉自己快要崩溃了。 ……然而，一个偶然遇见的男孩却给我带来了转机。当时，他正在另一位教授的课上研究实变函数。我正在和我的一位女学生讨论本周的实变函数作业。学生告诉我，她在解决问题的过程中发现了一个破绽，但是我们两个人分析了半天也想不出如何解决。于是我问男孩是否解决了这个问题。虽然他说他已经算出了答案，但当我们仔细一看，发现他的解题步骤和我女学生的解题步骤是一样的，但他没有注意到其中的破绽，所以我只好向他指出问题。 。
就这样，短短20分钟的时间，教室里一共聚集了7个人，其中包括实变函数论的5名学生、另一位教授和我。大家各抒己见，共同讨论解决问题的办法。然而，就在问题即将解决的时候，我们又遇到了另一个全新的问题。不过，经过大家的共同努力，终于攻克了这个难题。
那一刻，每个人的脸上都绽放出胜利的喜悦。负责在黑板上记录讨论过程的学生在快速写完最后一笔后还跳起了一小段舞蹈来庆祝。在他的影响下，我们都笑了，整个教室充满了一场伟大胜利后轻松欢快的气氛。
她还表示，正是在那笑声中，她意识到在与大家解决问题的30分钟里，她完全忘记了自己的烦恼和担忧。在这个自发形成的数学群体中，数学成了一个精神港湾。在这个港湾里，她可以尽情欢笑、尽情跳舞，再也不用担心外面的大风大浪，或者烦人的琐事。
她的故事说明了健康的数学社区是多么有益。那里没有阶级划分。每个人都在思考同一个问题。教授们还可以用实际行动告诉大家，他们也有很多不明白的事情，他们也有很多问题想要努力解决。沮丧是一种正常现象。 ，在某种程度上甚至可以让人有些兴奋和兴奋。
大家因为共同的兴趣走到了一起：即使学生知道这个问题不是教授能轻易解决的，解决不了也不会被扣分，但他们还是和教授一样想要它。尽一切努力找出真相并找到答案。在共同努力的过程中，他们看到了同样的一线希望；在完成任务的那一刻，他们都尝到了同样的胜利滋味。回顾这段经历，艾琳表达了这样的感慨：
虽然我们每个人都付出了自己的努力去寻找答案，但我还是忍不住要表扬一下我的学生。正是因为她最初发现了解决问题过程中的缺陷，才让我们有了现在的收获。另一方面，虽然我发现她严谨、谨慎的美丽性格，但这种性格很容易被大多数专业人士低估或忽视，因为他们往往更看重创造力和数学直觉。虽然她也有这些优点，但因为她谦虚，懂得人外有人，人外有天堂，所以这些优点在群体环境中并不容易被人注意到。
如果把数学上的挑战比作一条必须渡过的河流，那么有些数学家会选择立即从岸边出发，跳到河里的石头上，只考虑下一步；而其他数学家会选择在岸边观望，然后寻找过河的方法，计算水流的速度和落下的概率，并使用谷歌地图搜索上游和下游两侧，看看是否可以过河。可以绕桥走一圈。看着勇往直前、在岩石上跳跃的战士们，很容易被他们的勇气所折服。但是实际上，当这些人被困在河中间的困境中时，经常在岸上勤奋，严格，精心策略的人来营救他们。
我认为教授和学生都忽略了导致我们最终胜利的集体工作中谨慎，有条理的部分。面对这个事实，我不禁对情感叹了口气：两位拥有博士学位的大学教授，以及几位具有出色专业能力的高级学生，没有注意到解决问题的丝毫缺陷，而是让一个未知的缺陷人解决问题。 ，能力常常被别人认可的学生会发现问题。
这是一个真正蓬勃发展的数学社区：由于共同的探索指示和爱好，成员聚集在一起，每个人都积极交流，从彼此的优势中学习并尊重彼此的劳动结果。在这个团结与协作的过程中，每个人都会为团队所取得的突破而欢呼，并且每个出色的角色都会以最好的能力来解释。
原始作者/弗朗西斯·苏（SU）
摘录/莲花